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    双子のパラドックスの計算について(4)

    双子のパラドックスの計算について(3)で、双子のパラドックスの計算について双子のパラドックスの計算について(2)検算らしき計算を行いましたが、私の計算方法とリンドラー座標による計算方法と計算結果がどれだけ違うのかという事を調べるために、等加速区間で計算してグラフを作成して見ました。*1
    グラフの線の変数の意味と計算式は以下の通りですが、「{Himajin}」が付いている変数は私の計算結果に基づいた変数で「{Rindler}」がついている変数は、FNの高校物理の双子のパラドックスと一般相対性理論(リンドラー座標)を理解した結果による計算結果です。
    また、計算を簡単にするために加速度aも光速cも1にしています。
    グラフの作成に使った数式は、
    [等加速系から見た等加速系の相対速度]
    v'{Himajin}=tanh(t') *2
    v'{Rindler}=t'/√(1+t'^2)
    [等加速系から見た等加速系の移動距離]
    x'{Himajin}=log(cosh(t')) *3
    x'{Rindler}=√(1+t'^2)-1
    [等加速系から見た静止系の固有時]
    t{Himajin}=∫[0→t']√(e^(2x'{Himajin})-v'{Himajin}^2)dt'=∫[0→t']√(e^(2log(cosh(t')))-tanh^2(t'))dt'=∫[0→t']√(cosh^2(t')-tanh^2(t'))dt' *4
    t{Rindler}=sinh(t')
    [静止系から見た等加速系の移動距離]
    x{Himajin,Rindler}=cosh(t')-1 *5
    としました。
    グラフでは省略しましたが、
    [静止系から見た等加速系の相対速度]
    v{Himajin}=1/√(1+4/sinh^2(2't')) *6
    v{Rindler}=tanh(t') *7
    となります。
    *1 リンドラー座標の説明は、リンドラー座標(Wikipedia)を見てください。
    *2 この数式の導出法は、特殊相対性理論における等加速運動についてを見てください。
    *3 この数式の導出法は、特殊相対性理論における等加速運動について(2)を見てもらいたいのですが、特殊相対性理論における等加速系の速度関数を素直に積分した結果を等加速系の移動距離関数として採用している事が私の理論の最大の売りかもしれません。
    *4 こちらの数式を採用した理由は、双子のパラドックスの計算についてを見てもらいたいのですが、こちらの不定積分の解析解が分からないため、t'のサンプリング間隔を0.1にして適当に足し合わせて数値積分しているので、それなりに誤差があるかもしれません。
    *5 私の計算法でx=cosh(t')-1 になる理由は、双子のパラドックスの計算について(2)の「追記2:」を見てください。
    *6 この数式の導出法は、双子のパラドックスの計算について(3)を見てください。
    *7 リンドラー座標では、dx/dt=(dx(dt')/dt')/(dt(t')/dt')=sinh(t')/cosh(t')=tanh(t')となりますが、v{Rindler}=tanh(t')は特殊相対性理論と同一の結論なので、等価原理による時間の遅れの効果が正しく反映されていない可能性があるのではないでしょうか。
    comphimarind2.jpg
    追記:
    追記2:(2024/1/24)
    [静止系から見た等加速系の相対速度]に関して追記を行いました。
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