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    双子のパラドックスの計算について(3)

    双子のパラドックスの計算についてで「t=∫[0→t']√(e^(2|a'|(x'(t')-X'(t'))/c^2)-(v'(t')/c)^2)dt'となります。」と聞かされ、双子のパラドックスの計算について(2)オバケのQ太郎(Wikipedia)と新潟県の海岸線を組み合わせたような曲線のグラフを見せられても、全く興味がわかないと思われている方に対して、私の計算法の核心であるdt/dt'=√(e^(2a'x'(t')/c^2)-(v'(t')/c)^2)が正しい可能性がある事を示すために、特殊相対性理論における等加速運動についてで求めた、u'(t')=ctanh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))と特殊相対性理論における等加速運動について(2)で求めたU'(t')=(c^2/a')log(cosh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))/cosh(arctanh(u'(0)/c)))と双子のパラドックスの計算についてで仮定したx(t')=∫[加速区間の時間域](v'(t')/√(1-(v'(t')/c)^2))dt'を使って、静止系の立場から見た等加速系の速度が低い時にほぼ一致し、その後、光速を超えることなく光速に近づいて行くのかとい事について、等加速区間の場合で確認して見たいと思います。
    等加速系の時間をパラメーターとした静止系の立場で見た等加速系の速度関数をv(t')とすると、
    v(t')=dx(t')/dt(t')=(dx(t')/dt')/(dt(t')/dt')
    v(t')=v'(t')/√(1-(v'(t')/c)^2)(e^(2a'x'(t')/c^2)-(v'(t')/c)^2)となります。
    そして、v'(t')=ctanh(a't'/c),x'(t')=(c^2/a')log(cosh(a't'/c))とし、計算を簡単にするためにT'=a't'/cとすると、
    v(t')=ctanh(T')/√(1-(ctanh(T')/c)^2)(e^(2a'(c^2/a')log(cosh(T'))/c^2)-(ctanh(T')/c)^2))
    v(t')=ctanh(T')/√(1-tanh^2(T'))(e^(2log(cosh(T')))-tanh^2(T'))となり、tanh^2(x)=1-1/cosh^2(x),e^(2log(cosh(T'))=cosh^2(T')なので、
    v(t')=ctanh(T')/√((1-1+1/cosh^2(T'))(cosh^2(T')-tanh^2(T'))
    v(t')=ctanh(T')/√((cosh^2(T')-tanh^2(T'))/cosh^2(T'))
    v(t')=ctanh(T')/√(1-(tanh(T')/cosh(T'))^2)
    v(t')=c/√(1/tanh^2(T')-1/cosh^2(T'))となり、1/tanh^2(x)=1+1/sinh^2(x)なので、
    v(t')=c/√(1+1/sinh^2(T')-1/cosh^2(T'))
    v(t')=c/√(1+(cosh^2(T')-sinh^2(T'))/(cosh(T')sinh(T'))^2となり、cosh^2(x)-sinh^2(x)=1,cosh(x)sinh(x)=sinh(2x)/2なので、
    v(t')=c/√(1+4/sinh^2(2T'))となり、T'=a't'/cだったので、
    v(t')=c/√(1+4/sinh^2(2a't'/c))となります。
    そして、x>0でsinh(x)>0なので、必ずv(t')<cとなる事が証明されます。*1
    また、1/√(1+4/sinh^2(2x))の微分による確認は大変なので省略しますが、tanh(x)と1/√(1+4/sinh^2(2x))の関数の形を下のグラフで確認すると、1/√(1+4/sinh^2(2x))はxが小さい時(=速度が低い時)にはtanh(x)とほぼ一致する事が分かるのではないでしょうか。
    尚、v(t')がv'(t')よりも早く光速に近づくのは、等価原理による時間の遅れの効果によるものではないでしょうか。
    *1 v(0)が計算不能となる事を気にされる方がいると思いますが、この事はどうか見逃してやってください(笑)
    tanhsinh.jpg
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