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    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(4)

    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)で求めた面積速度√(GMa(1-ε^2))/2を使って、楕円軌道を描いている物体の位置から時間を求める関数を求めておきたいと思います。
    楕円軌道を描いている物体の動径が描く面積Rは、下の図でいえばR+R'-R'ですから、t=(R+R'-R')/(√(GMa(1-ε^2))/2)となりますので、まずはR'を求めたいと思います。
    楕円の方程式は(x/a)^2+(y/b)^2=1ですから、y=±b√(1-(x/a)^2)ですが、y>=0の場合だけを考えると、y=b√(1-(x/a)^2)となります。
    R'はただの三角形なのでR'=(x+aε)y/2となりますが、x<-aεの場合はR'<0となります。
    そして、R+R'についてはy=b√(1-(x/a)^2)の原始関数をF(x)とすると、F(x)-F(-a)で求める事が出来ますが、F(x)はネット情報を利用して計算した結果、積分定数を無視するとF(x)=(ab/2)((x/a)√(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))となり、F(-a)=(ab/2)((-a/a)√(1-(-a/a)^2)+arcsin(-a/a))=(ab/2)(-a√(1-1)+arcsin(-1))=(ab/2)arcsin(-1)=-(ab/2)π/2=-abπ/4となります。
    また、R+R'=F(x)-F(-a)=(ab/2)((x/a)√(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))+abπ/4ですから、
    R+R'-R'=(ab/2)((x/a)√(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))+abπ/4-(x+aε)y/2となり、y=b√(1-(x/a)^2)だったので、
    R=(ab/2)((x/ab)y+arcsin(x/a))+abπ/4-(x+aε)y/2
    R=xy/2+abarcsin(x/a)/2+abπ/4-xy/2-aεy/2
    R=abarcsin(x/a)/2+abπ/4-aεy/2
    R=a(b(arcsin(x/a)/2+π/4)-εy/2)
    R=a(b(arcsin(x/a)+π/2)/2-εy/2)
    R=a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/2となるはずで、Rを面積速度で割ってtを求めると、
    t=(a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/2)/(√(GMa(1-ε^2))/2)
    t=a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/√(GMa(1-ε^2))
    t=√a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/√(GM(1-ε^2))となり、√(1-ε^2)=b/aですから、
    t=√a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/√(GM)(b/a)
    t=a^(3/2)(arcsin(x/a)+π/2-ε(y/b))/√(GM)
    t=√(a^3/GM)(arcsin(x/a)+π/2-ε(y/b))となるはずで、逆三角関数の性質により、t=√(a^3/GM)(arccos(-x/a)-ε(y/b))と出来て、左右を反転すると、t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))となります。
    したがって、上記の結果を利用してt=t(x,y)とした場合、物体の楕円軌道上の周期T=2t(a,0)=2π√(a^3/GM)となり、この結果から、離心率εが変わっても周期Tは変わらないという事が証明されたはずです。
    下の図の場合の楕円の下半分については、上記と同様な計算を行うか、上記の結果と時間反転対称性と楕円の上下の対称性を利用して簡単に計算出来る事になります。
    尚、上記の結果からx(t)やy(t)の解析解を求める方法は今のところ私には分かりませんので、もし解析解が存在すれば、どなたか解析解を教えていただけると助かります。
    ellipset2.jpg
    追記:
    t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))を(aε,0)を焦点にした極座標に変換するとr=a(1-ε^2)/(1+εcosφ),x=rcosφ-aε=a(1-ε^2)cosφ/(1+εcosφ)+aε,y=rsinφ=a(1-ε^2)sinφ/(1+εcosφ),b=a√(1-ε^2)なので、0≦φ≦πの場合、t=√(a^3/GM)arccos((1-ε^2)cosφ/(1+εcosφ)+ε)-ε√(1-ε^2)sinφ/(1+εcosφ))となるはずで、この解は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)のVφ(φ)=√(GM/(a(1-ε^2))^3))(1+εcosφ)^2=dφ/dtとした微分方程式の0≦φ≦πの場合の解析解に該当するはずです。
    追記2:(2023/11/27)
    この記事に対する私の脳内のゴーストの囁きがうるさくなって来たので、LibreOfficeのCalcで適当に数値積分らしき計算を行って確認して見たところ、グダグダになってしまったので、rについての数式の訂正を行って計算しなおしたところ、数値が概ね一致する事が分かりました。
    したがって、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)も含めて訂正を行わせていただきましたが、やはり持つべきものはバックアップ、やるべき事はデバッグですね(笑)
    尚、激しい誤りがあっても命までは取られませんよね?(笑)
    追記3:(2023/11/28)
    こちらの結果は、自由落下する物体にも応用できる事が分かりましたので、自由落下する物体の速度の計算についての「追記:」も見てください。
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