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    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)

    本日も雨で外出できないので、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度についてで求めたv=√(GM(2/r-1/a))と楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(2)で証明したsinθ=√(rR/sS)を使って、楕円軌道の速度と面積速度と角速度を求めて見たいと思います。

    近日点距離=a(1-ε)で遠日点距離=a(1+ε)なので、rR=a^2(1-ε^2)となり、s=r,S=(2a-r)とすると、sinθ=√(a^2(1-ε^2)/r(2a-r))なので、sinθ=a√((1-ε^2)/(r(2a-r)))となります
    そして、角速度は(v/r)sinθですから、rをパラメータとした角速度関数は、
    Vφ(r)=(√(GM(2/r-1/a))/r)a√((1-ε^2)/(r(2a-r)))
    Vφ(r)=(√(GM(2a/ar-r/ar))/r)a√((1-ε^2)/√(r(2a-r)))
    Vφ(r)=(√(GM(2a-r)/ar)/r)a√((1-ε^2)/(r(2a-r)))
    Vφ(r)=(√(GM/ar)/r)a√(1-ε^2)/r)
    Vφ(r)=(√(GM/a)/(r√r))a√(1-ε^2)/r)
    Vφ(r)=√(GM/a)a√(1-ε^2)/r^2
    Vφ(r)=√(GMa(1-ε^2))/r^2となるはずです。
    尚、rをパラメータとした面積速度は、
    VS(r)=(r^2/2)(⊿φ/dt)であり⊿φ/dt=Vφ(r)ですから、
    VS(r)=(r^2/2)Vφ(r)=(r^2/2)(√((GMa)(1-ε^2))/r^2)=√(GMa(1-ε^2))/2で一定となるので、この結果はケプラーの第二法則(Wikipedia)と整合している事になります。

    そして、r=l/(1+εcosφ)であり、l=a(1-ε^2)ですから、r=a(1-ε^2)/(1+εcosφ)となり、φをパラメータとした角速度関数は、上記の結果を利用すると、
    Vφ(φ)=√(GMa(1-ε^2))/((a(1-ε^2)/(1+εcosφ))^2
    Vφ(φ)=√(GMa(1-ε^2))(1+εcosφ)^2)/(a(1-ε^2))^2
    Vφ(φ)=√(GMa)(1+εcosφ)^2/(a^2(1-ε^2)^(3/2))
    Vφ(φ)=√(GM)(a(1-ε^2))^(-3/2)(1+εcosφ)^2
    Vφ(φ)=√(GM/(a(1-ε^2))^3))(1+εcosφ)^2となるはずです。
    尚、公転周期Tはεとφが同じ場合の角速度に反比例するから、少なくともεが同じ場合にT=ka^(3/2),T^2=ka^3となるので、この結果はケプラーの第三法則(Wikipedia)と整合している事になります。

    ついでに、v=√(GM(2/r-1/a))とr=a(1-ε^2)/(1+εcosφ)を利用してφをパラメータとした速度関数も求めておくと、
    V(φ)=√(GM(2/(a(1-ε^2)/(1+εcosφ))-1/a))
    V(φ)=√(GM(2(1+εcosφ)/(a(1-ε^2))-1/a))
    V(φ)=√((GM/a)((2+2εcosφ)/(1-ε^2)-1))となるはずです。
    追記:
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    コメント

    Re: No title

    現時点でcore2dueをつかっているというのは凄いですね。
    私はCore i3 8100なのでWindows11にしても大丈夫だとは思いますが、現時点でインストールしているソフトで問題が起きると疲れるので、敢えてWindows10のままにしています。
    ただし、現在使っているHDDがWindowos10が終了する前にヤバくなると思いますので、Windowos10が終了する前にHDDの故障予防交換とWindwos11のアップグレードを同時に行おうと思いますが、Windows11が現在の8Gbyteのメモリ容量で快適に動作するのか心配ですね。

    No title

    僕は数学・物理は苦手で・・・ごめんなさい。パソコンは未だにcore2dueを使ってますよ。流石に1800GhzはWindows10には対応出来ませんでしたが、2500Ghz以上なら不要な機能を除けばサクサク動きます。そんなWindowsも2025年で終止符が打たれそうなのでとても残念です。
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