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    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(2)

    Yahoo!知恵袋(物理)で、楕円軌道を描いている物体の運動方向に関する証明問題も提起されていたのですが、提起されていた問題は、下の図のθが、sinθ=√(rR/sS)になる事を証明するという問題です。
    この問題は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度についてで求めた、v=√(GM(2/r-1/a)とケプラーの法則を使うと証明が簡単にできる事が分かりましたので、私の方で簡単に証明したいと思います。
    下の図の二つのθは、下の図の楕円軌道の左右対称性と
    で説明されている楕円の反射定理から同一である事が証明されます。
    そして、S=2a-sなので、VsVSを計算すると、
    Vs=√(GM(2/s-1/a))=√(GM(2a/as-s/as))=√(GM(2a-s)/as)
    VS=√(GM(2/(2a-s)-1/a)=√(GM(2a/((2a-s)a)-(2a-s)/((2a-s)a))=√(GM(2a-2a+s)/((2a-s)a)=√(GM(s/(2a-s)a)
    VsVS=√(GM(s/(2a-s)a)√(GM(2a-s)/as)=√((GM)^2/a^2)=GM/aとなります。
    尚、s=rにしてもGM/aの値は変わらないので、VrVR=VsVSになる事になり、ケプラーの第二法則(Wikipedia)によれば面積速度は一定なので、Vs=(r/s)Vr/sinθ,VS=(R/S)VR/sinθ,VsVS=(rR/sS)VrVR/sin^2θとなり、VrVR=VsVSですから1=(rR/sS)/sin^2θ=√(rR/sS)/sinθとなるので、sinθ=√(rR/sS)である事が証明されます。
    ellipsea3.jpg
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