2023/04/25

遠心力がF=mv^2/rになる理由について

平坦な時空の回転系の計量についてと平坦な時空の回転系の計量について(2)を記して自分に酔っていい気分になっていたのですが、遠心力がF=mv^2/rとなる理由が分かっていない事に気が付いて、慌ててネットを調べてもすっきり理解出来る説明が見当たらなかったため、いつもの様に自力で説明を考えて見ました。

まず、二次元の円の方程式はx^2+y^2=r^2なので、y=±√(r^2-x^2)ですが、y=√(r^2-x^2)について、(x,y)=(0,r)の座標でのy座標方向へ働く遠心力を計算してみたいと思います。

(x,y)=(0,r)で働く遠心力を計算するために、(x,y)=(⊿x,r)を考えると、⊿x=v⊿tとみなす事が出来ますが、微分を行うために便宜的に⊿tをtと置いて、y=√(r^2-(vt)^2)と置きます。

すると、dy/dt=-v^2t/√(r^2-(vt)^2),d^2y/dt^2=-v^2/√(r^2-(vt)^2)-v^4t^2(r^2-(vt)^2)^-3/2となり、f(t)=√(r^2-(vt)^2)と置くとf'(0)=0ですがf"(0)=-v^2/rとなるので、(x,y)=(0,r)では回転運動を行っている物体はy軸の方向に-v^2/rの加速を行う事になり、F=-maなのでy軸方向にmv^2/rの大きさの遠心力が発生する事になります。

これで、遠心力がF=mv^2/rになる理由をすっきりと理解していただけたでしょうか(笑)

因みに、きちんと計算していないので正しいという保証がありませんが、平坦な時空の回転系の計量についてやChem-Stationの【金はなぜ金色なの？】 相対論効果 Relativistic Effectsが正しければ、特殊相対性理論ではm'=γmとなって遠心力もF=γmv^2/rとなるのではないでしょうか。

追記:

今頃になって、具体例で学ぶ数学の遠心力の意味と計算する3つの公式【証明つき】を見つけ、こちらの方が全然エレガントでしたが、私が示した内容の方が素朴で分かりやすいという事にしてもらえないですか(笑)