2021/05/07

オイラーの公式の証明について(2)

オイラーの公式の証明についてで終わってしまうとつまらないので、私もマクローリン展開や微分方程式だけでオイラーの公式を証明(?)している方と同様、数学的な厳密性を踏みにじったオイラーの公式の証明(?)を披露したいと思います(笑)
この証明(?)は、∫1/(1+x^2)dx=arctan(x)+Cである事を利用しますが、先ず、1/(1+x^2)=1/(1-ix)(1+ix)と変形してiをあぶり出します。
(1/(1-ix)+1/(1+ix))/2=1/(1+x^2)と変形して左辺の分子と分母にiを乗じて
(i/(1-ix)+i/(1+ix))/2i=1/(1+x^2)として両辺を積分すると、
∫(i/(1-ix)+i/(1+ix))/2idx=∫1/(1+x^2)dx
(-log|1-ix|+log|1+ix|)/2i+C=arctan(x)+Cとなりますが、Cは同じ値なので、
(-log|1-ix|+log|1+ix|)/2i=arctan(x)
log(|1+ix|/|1-ix|)=2iarctan(x)となり、2arctan(x)=θと置いてlog()の引数の分子と分母に|1+ix|をかけると、
log(|1+ix|^2/|1+x^2|)=iθとなります。
そして、両辺を逆対数化すると、
|1+ix|^2/|1+x^2|=e^iθとなりますが、分子は二乗していて分母は1+x^2≧1なので、
(1+ix)^2/(1+x^2)=e^iθと出来て、x=tan(θ/2)なので、
(1+itan(θ/2))^2/(1+tan^2(θ/2))=e^iθ
((1+isin(θ/2)/cos(θ/2))/(1/cos(θ/2))^2=e^iθ
(cos(θ/2)+isin(θ/2))^2=e^iθとなり、ド・モアブルの定理(Wikipedia)を適用すると、
cosθ+isinθ=e^iθとなります。
まあ、この証明(?)の問題点は、
∫(i/(1-ix)+i/(1+ix))/2idx=∫1/(1+x^2)dx
(-log|1-ix|+log|1+ix|)/2i+C=arctan(x)+C
という事が証明されていない事と、|1-ix|と|1+ix|が何を意味しているのか明らかに出来ていない事だと思いますが、暇つぶしの足しになりましたでしょか(笑)