2021/05/06

オイラーの公式の証明について

世の中には、オイラーの公式(Wikipedia)をマクローリン展開(金沢工業大学)や微分方程式(Wikipedia)だけで証明(?)している方が多いようなので、この件について記したいと思います。

オイラーの公式は、e^iθ=cosθ+isinθですが、e^iθのマクローリン展開や微分方程式が成り立つためには、e^iθがθ∈Rで微分(Wikipedia)可能である事を証明しなければならないのではないでしょうか。

そこで、e^iθがθ∈Rで微分可能かどうか微分の定義に立ち返って確認して見たいと思います。

e=(1+1/∞)^∞なので、(e^i(θ+⊿θ)-e^iθ)/⊿θ=(e^iθe^i⊿θ-e^iθ)/⊿θ=e^iθ(e^i⊿θ-1)/⊿x=e^iθ((1+1/∞)^(∞*i⊿θ)-1)/⊿θとなりますが、1/∞=⊿θとすると、e^iθ((1+⊿<θ)^i-1)/⊿θとなるのですが、e^iθや(1+⊿θ)^i=((e+e⊿θ)/e)^i=(e+e⊿θ)^i/e^iは、証明しようとしている式を包含している式なので、循環論法(Wikipedia)となっていてe^iθがθ∈Rで微分可能である事を証明出来ないのではないでしょうか。*1

また、この事が正しければ、マクローリン展開や微分方程式だけを用いた証明(?)は、数学の証明としては不完全なのではないでしょうか。

まあ、私は小物だから、このような些細な事が気になるのかもしれないですね(笑)

*1 e^θの場合は、(e^(θ+⊿θ)-e^θ)/⊿θ=(e^θe^⊿θ-e^θ)/⊿θ=e^θ(e^⊿θ-1)/⊿x=e^θ((1+1/∞)^(∞*i⊿θとなり、1/∞=⊿θとすると、e^θ((1+⊿θ)^1-1)/⊿θ=e^θ(1+⊿θ-1)/⊿θ=e^θ⊿θ/⊿θ=e^θなので、この結果に異議を唱える人は殆どいらっしゃらないのではないでしょうか。

追記:

オイラーの公式の証明について(2)も見てください。