2021/04/30
特殊相対性理論における等加速運動について(2)
双子のパラドックスの計算について(2)のx'(t')の精度を上げるために、特殊相対性理論における等加速運動についてで得た、u'(t')=ctanh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))という等加速系の相対速度関数の積分の解析解を計算して見たいと思います。
ctanh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))の不定積分∫ctanh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))dt'は、
c∫tanh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))dt'と変形出来ますが、T'(t')=a't'/c+arctanh(u'(0)/c)と置くと、c∫tanh(T'(t'))(dt'/dT’(t'))dT’(t'),dt'/dT'(t')=c/a'なので、
c∫tanh(T'(t'))(c/a')dT'(t')=(c^2/a')∫tanh(T'(t'))dT'(t')となります。
そして、∫tanh(x)dx=log(2cosh(x))+Cなので、(c^2/a')∫tanh(T'(t'))dT'(t')=(c^2/a')log(2cosh(T'(t')))+C,U'(t')=(c^2/a')log(2cosh(T(t')))+Cとなります。
また、U'(0)=(c^2/a')log(2cosh(T'(0)))+C,C=-(c^2/a')log(2cosh(T'(0)))+U'(0)となり、等加速系の移動距離関数はU'(t')=(c^2/a')log(cosh(a't'/c+arctanh(u'(0)/c))/cosh(arctanh(u'(0)/c)))+U'(0)となりますが、log(cosh(x))の形は下の通りです。

追記:
ネットを見ると、私の結論と異なる結論を出していると思える記事が存在する事が分かりましたが、そのような記事は、等速運動しか適用出来ないはずのローレンツ変換を利用して計算を行っているせいではないかと思っています。