2023/05/05

自由落下する物体の速度の計算について

Yahoo!知恵袋(物理学)を見ていたら、物体が同じ加速度で落下(?)して行くと光の速さに近づくというようないい加減な主張を行っている方を見かけたので、この問題をニュートン力学の範囲内できちんと考えて見たいと思います。

ニュートン力学の万有引力の法則はF=GMm/r^2ですが、mがMと比べて無視できるほど軽い場合、重力ポテンシャルはF=GMm/r^2をrで積分して積分定数を0とした-GMm/rです。

そして、r0≧r>0,r0でv=0の場合、r0では重力ポテンシャルは-GMm/r0,rでは重力ポテンシャルは-GMm/rであり、r0とrでの重力ポテンシャルの差=rでの運動エネルギーなので、-GMm/r0-(-GMm/r)=GMm/r-GMm/r0=GMm(1/r-1/r0)=mv^2/2,v=√(2GM(1/r-1/r0))となり、vは自由落下する物体のrでの速度になります。

したがって、物体が自由落下して光の速さに近づくかどうか判断するためには、最低でもこちらの計算式を行わなければ、話にも何もならないのではないでしょうか。

因みに、v=√(2GM(1/r-1/r0))からv(t)を求めようとすれば、v=dr/dt=√(2GM(1/r-1/r0)と置いて

dt/dr=1/√(2GM(1/r-1/r0)

dt=(1/√(2GM(1/r-1/r0))dr

∫dt=∫(1/√(2GM(1/r-1/r0))dr

t+C=∫(1/√(2GM(1/r-1/r0))drとなり、t=t(r)を求めてt(r)の逆関数r=r(t)を求め、v(t)=√(2GM(1/r(t)-1/r0))とすれば求められるのではないでしょうか。

この問題を一般相対性理論で考えたい人は、ブラックホールに軟着陸するとどうなるのかで紹介した物理のぺーじ♥のシュバルツシルト解～クルスカル座標～のP1～3を見れば可能だと思いますが、ブラックホールに自由落下する物体の運動について私のように真面目に考えると、私のこちらの内容をすっきりと理解出来るようになれるのではないでしょうか(笑)

2023/04/25

遠心力がF=mv^2/rになる理由について

平坦な時空の回転系の計量についてと平坦な時空の回転系の計量について(2)を記して自分に酔っていい気分になっていたのですが、遠心力がF=mv^2/rとなる理由が分かっていない事に気が付いて、慌ててネットを調べてもすっきり理解出来る説明が見当たらなかったため、いつもの様に自力で説明を考えて見ました。

まず、二次元の円の方程式はx^2+y^2=r^2なので、y=±√(r^2-x^2)ですが、y=√(r^2-x^2)について、(x,y)=(0,r)の座標でのy座標方向へ働く遠心力を計算してみたいと思います。

(x,y)=(0,r)で働く遠心力を計算するために、(x,y)=(⊿x,r)を考えると、⊿x=v⊿tとみなす事が出来ますが、微分を行うために便宜的に⊿tをtと置いて、y=√(r^2-(vt)^2)と置きます。

すると、dy/dt=-v^2t/√(r^2-(vt)^2),d^2y/dt^2=-v^2/√(r^2-(vt)^2)-v^4t^2(r^2-(vt)^2)^-3/2となり、f(t)=√(r^2-(vt)^2)と置くとf'(0)=0ですがf"(0)=-v^2/rとなるので、(x,y)=(0,r)では回転運動を行っている物体はy軸の方向に-v^2/rの加速を行う事になり、F=-maなのでy軸方向にmv^2/rの大きさの遠心力が発生する事になります。

これで、遠心力がF=mv^2/rになる理由をすっきりと理解していただけたでしょうか(笑)

因みに、きちんと計算していないので正しいという保証がありませんが、平坦な時空の回転系の計量についてやChem-Stationの【金はなぜ金色なの？】 相対論効果 Relativistic Effectsが正しければ、特殊相対性理論ではm'=γmとなって遠心力もF=γmv^2/rとなるのではないでしょうか。

追記:

今頃になって、具体例で学ぶ数学の遠心力の意味と計算する3つの公式【証明つき】を見つけ、こちらの方が全然エレガントでしたが、私が示した内容の方が素朴で分かりやすいという事にしてもらえないですか(笑)

2023/04/08

どうして低音の方が遠くまで届くのか

Yahoo!知恵袋(物理学)を見ていて、どうして低音の方が遠くまで届くのかという旨の質問があり、この事についてネットで調べて見たけれど、納得出来る回答を見つけられなかったので、自分なりに考えて回答したのですが、ブログのネタが尽きたので、どうして低音の方が遠くまで届くのかという事について記してお茶を濁したいと思います。

まず、音波の周波数が高いという事は、空気中の縦波による分子の位置の変異スピードが速いという事ですから、同じ音圧ならば、統計力学(Wikipedia)的に考えれば高音の方が空気の温度が高くなる事になります。

そして、シュテファン＝ボルツマンの法則(Wikipedia)によれば、輻射エネルギーは温度の4乗に比例するので、上昇する温度が高い高音の方が早く減衰するという事ではないでしょうか。

直感的に考えれば、音によって温度が上昇するというのは考えにくいですが、統計力学的に考えれば温度が上がる事は自明ですし、たとえ上昇する温度がほんの僅かだとしても、輻射エネルギーは温度の4乗に比例するので、音波の周波数による減衰率の違いは、如実に表れるという事ではないでしょうか。

尚、もし低音の方が遠くまで届くという事実を直感的に理解出来ない場合は、雷は近くで落ちるとバキバキっという高音が短時間だけ聞こえ、低音になればなるほど長時間聞こえるという事と、雷が遠い場合は、ゴロゴロという低音しか聞こえない事を思い出してもらえないでしょうか。

2023/01/07

どうして銀河やクエーサーの発生は理論より早いのか

正月が明けてガソリン代を使って新潟県立図書館へ行って、日経サイエンスの2月号を拝読させてもらったところ、宇宙論を揺るがす黎明期の銀河という記事が目に止まり、こちらの記事によると、「驚くほど成熟した「初期」銀河」が発見され、既存のビッグバン理論では説明出来ないそうですが、私なら説明出来ると思いましたので、将来的に「ほら、俺が言っていた事が正しかったじゃないか!!」といやみったらしく言えるようにするために、今のうちにここで記して置きたいと思います(笑)

「驚くほど成熟した「初期」銀河」が存在する兆候は、かなりまえから観測事実としてつかんでいて、2000年以降に、この問題を解決するという意味からも、一部の学者からサイクリック宇宙論(Wikipedia)が提唱されていたのではないでしょうか。

因みに、超ひも理論の研究で有名な川合さんも、はじめての〈超ひも理論〉 (講談社現代新書)でサイクリック宇宙論を提唱していた事を思い出します。

これらのサイクリック宇宙論では、宇宙はビッグバン(Wikipedia)とビッグクランチ(Wikipedia)を繰り返し、ビッグバン時に過去の宇宙の物質の密度の分布の影響を受けるので、ビッグバンで出来た宇宙の物質密度は最初から不均一となって、ビッグバン時の量子論的な効果や暗黒物質の効果を取り入れても再現出来ない銀河やクエーサーの早期発生が説明出来るという事ではないでしょうか。

という事で、資本主義的な考え方の枠組みで資本主義社会の本質を理解したり、資本主義の問題を決して解決出来ないのと同じで、現在の宇宙の中に閉じた考え方の枠組みでは、現在の宇宙を正しく理解する事は決して出来ないという事ではないでしょうか(笑)

追記:

こちらでリニアの批判ばかり行っていたら、「ビッグクランチ」が私の脳内でいつのまにか「ビッグクエンチ」にすり替わってしまっていました(笑)

それと、ここでついでに言っておきますが、私はインフレーション理論がどうして必要なのか今一つ理解出来ないですし、インフレーションが起きる機構も全く解明されていないため、インフレーション理論は今のところはパスしています。

2022/11/02

どうして化学反応でエネルギーが発生するのか

Yahoo!知恵袋(物理学)の質問を眺めていたところ、核融合や核分裂や化学反応でエネルギーは4つの力のうちどの力によってエネルギーが発生するのかといういう趣旨の質問を見かけ、核融合や核分裂でエネルギーが発生する仕組みは原子核物理カテゴリーで記して分かっている気になっていたのですが、化学反応でエネルギーが発生する仕組みが分かっていなかった事に今頃気が付きました。

そこで、一番身近で単純な水素と酸素が化学反応を起こした場合にエネルギーが発生する仕組みをネットで調べたのですが、全く見つからなかったので、仕方なく自分で考えて説明図を作成して見ましたので、どうか見てやってください。

因みに、核融合でエネルギーが発生する仕組みもネットで見つけられなかったので仕方なく自分で考えて原子核物理カテゴリーで記す羽目になったのですが、このような事になってしまうのは、『女王の教室』で天海祐希さんがふんした阿久津真矢先生流に言えば、「あなたたち凡人」は「今のままずーっと愚かでいてくれればいい」からなのでしょうかね(笑)

2021/08/23

「ド・ドドンパ」の加速度は何Gになるのか?

「ド・ドドンパ」は世界一の加速力だそうですが、「1.56秒で時速180キロに到達する」という事だそうなので、加速度が何Gになるのか計算して見たいと思います。

「ド・ドドンパ」が1.56秒で到達するとされる180Km/hを秒速に直すと、180000m/3600s=50m/sになります。

この場合、加速度は(50m/s)/1.56s=約32.1m/s^2となり、1Gは約9.8m/s^2なので、(約32.1m/s^2)/(約9.8m/s^2)=約3.3となります。

したがって、0→180Km/hを同じ加速度で加速した場合は、約3.3Gになるのではないでしょうか。

ただし、普通は低速の方が加速度は高いので、瞬間的にはこれ以上のGが体にかかるのではないでしょうか。

因みに、「加速力世界一」１・６９秒で時速９６キロのＥＶ　価格は約３億５千万(産経新聞 2020/12/23)という電気自動車があり、「ド・ドドンパ」の加速力はこの車の約2倍もある事になりますが、「ド・ドドンパ」の加速力はすさまじいですね。

尚、失禁注意!! 3.75G加速と圧縮空気の衝撃…富士急ハイランドのジェットコースター『ド・ドドンパ』　7月15日始動(レスポンス 2017年7月14日)だそうですので、計算結果は大体合っていたようですね。

2021/02/15

ベルヌーイの定理について

世の中には、飛行機が飛ぶのはベルヌーイの定理(Wikipedia)のせいであるというように単純に説明するのは間違いだけれども、この事がどうして間違いなのか理解していない方がいらっしゃるようなので、いつものように老爺心を発揮して、私の考えをここで説明したいと思います。

下の図を見てもらうと一目瞭然ですが、一般的な飛行機は、胴体や翼を完全に水平にすると、図で示した通り、ベルヌーイの定理による揚力が空気の衝突による下降力に相殺されるため、飛び続ける事は出来ません。

翼や機体を傾ける事によって、空気の衝突による揚力とベルヌーイの定理による揚力の合計によって大きな揚力が発生し、飛行する事が出来るようになります。

従って、飛行機の設計時は、当然このような事を加味して、最適な設計を行っているのではないでしょうか。

追記:

ベルヌーイの定理による揚力の色を変えて見ました。

2021/01/29

恒星年と太陽年について

地球の自転周期についてで、「地球の自転周期は約23時間56分04秒=約0.99726968日ですが、1/(1-約0.99726968)=約366.257435となります。この数値は、一年の日数に公転よる1回転分が加わった数ですから、地表の特定の場所の同時刻における方向は、丁度半年で丁度180度回転する事になります。」と記して、数値に違和感を感じて調べてみたところ、恒星年(Wikipedia)と太陽年(Wikipedia)があるという事を初めて知りました。

恒星年と太陽年の意味をご存じない方は、Wikipediaの記事を読んでもらいたいのですが、恒星年は「365.256 36302日(2016.5年での値^[2])」という事なので、上記の366.257435という値から公転分の1を差し引いた365.257435という数値については、恒星年と同じ方法で測定された自転周期(Wikipedia)に基づいた数値という事になると思います。

それと、恒星年(約365.25636302日)と太陽年(約365.242189日)の値の差の大きさに驚いたのですが、時間や暦がここまでややこしくなっているという事を今頃になって気が付いて、小学生時代の天体観測を始めたばかりの初心を少しだけ思い出したような気がしました。

まあ、身のまわりにある何でもないものでも、私の様な無学の凡人が考えているよりも、はるかに複雑で精巧に出来ているという事なのでしょうね(笑)

2021/01/28

地球の自転周期について

お恥ずかしながら、地球の自転周期(Wikipedia)について、あまりよく考えずに漠然と約24時間だと思っていました、昨日とあるブログの記事を見て、約23時間56分04秒である事を初めて知りました。

ここまでズレていると、夏と冬で昼夜が逆転するのではないかと考え、そんなはずはないと思って少し考えたところ、夏と冬では地球の位置が太陽を中心にして正反対になる事に気が付きました。

つまり夏至と冬至では、地表の特定の場所の向きが約180度回転するけれども、太陽の位置も相対的に約180度回転するので、昼夜は逆転しないという事に今頃気が付きました。

因みに、自転周期(Wikipedia)では、地球の自転周期は約23時間56分04秒=約0.99726968日ですが、1/(1-約0.99726968)=約366.257435となります。

この数値は、一年の日数に公転よる1回転分が加わった数ですから、地表の特定の場所の同時刻における方向は、丁度半年で丁度180度回転する事になります。

また、微調整は閏秒(Wikipedia)で行っている事は、多くの方が知っている事実だと思います。

ところで、月は自転周期と公転周期が同じなので、地球から見ていつも同じ方向を向いてる事はよく理解していましたが、自らが住んでいる地球に対してこのような事を知らなかったのは情けないですね。

この事は、火星のテラフォーミングや月面上の資源獲得については熱く語るけれども、地球のテラフォーミングや環境改善については押し黙っている方と何か相通ずるところがあるのかもしれないですね(笑)