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    どうして地球は歳差運動をしているのか

    私はそれなりに長い間物理を独学で勉強して来たのですが、どうしてコマは首振り運動(歳差運動)をしたがるのかを記して、やっとコマの歳差運動が起きる仕組みを理解出来た気になったので、またまた老爺心を発揮して、どうしてコマは首振り運動(歳差運動)をしたがるのかの理解を前提として、地球の歳差運動が起きている理由を説明する簡単な図を作成しましたので、どうか見てやってください。
    尚、国立天文台の歳差 (Precession)を見ると、地球がどの程度歳差運動しているのかという事や、歳差運動が起きる仕組みが説明されていますが、月が図に表現されているのが私の図の売りです。
    因みに、現在はたままたま点の北極がこぐま座の現在の北極星に近い場所にあるので、赤道儀の北極の設定が楽なのですが、千年も2千年も前の人達がもしも赤道儀を使って天体撮影するとしたら、極軸の設定が結構大変だったでしょうね(笑)
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    どうしてコマは首振り運動(歳差運動)をしたがるのか

    私は、会社に対して言いなりになる事しか能がない無自覚な労働者だったので、働いている間は会社に対して首を縦にだけ振っていたせいか、コマが首振り運動(歳差運動)をする理由を知らずにこれまで生きてきた事に今頃になって気が付き、愕然としました。
    そこで、いつものようにネットで調べて見たのですが、数式で説明しているけれど、数式をよく確認すると、答えで答えを説明しているとしか思えない説明や、難しい数式で説明しているため、数式を確認する気が起きない記事しか見つけられなかったので、どうせニュートン力学だから大した事はないだろうと思ってたかをくくってコマが首振り運動の説明にチャレンジしてみました。
    いつものように内容の正しさは保証出来ないですが、下の説明図をどうか見てやってください。
    下の説明図では、円盤の回転軸が倒れ込む事によって質量mの質点の運動方向が変化してF1とF3の力が発生し、M13=4rmvωのモーメントが円盤が倒れ込む方向と直交する方向に発生する事を示していますが、円盤が回転軸を中心にしてφだけ回転した場合、質点に発生するF1とF3の力に寄与する速度の成分はcosφ倍になり、質点の移動によってモーメントの計算に使用する回転半径もcosφ倍になるので、M13=4rmvωcos^2φとなり、F0とF2によって発生するモーメントはcos(φ+π/2)=sinφを利用して同様に計算するとM02=4rmvωsin^2φとなり、M13+M02=4rmvω(cos^2φ+sin^2φ)=4rmvωとなるので、φが変わっても常に円盤が倒れ込む方向と直交する方向に4rmvωのモーメントが発生するはずです。*1
    したがって、質点をφを変えながら連続的に配置しても、M=4rmvωのモーメントがかかる事になり、円盤の円周方向や中心方向や外側方向や上下方向に向かって質点を配置しても、このモーメントはジャイロモーメントと一致するはずです。*2
    因みに、ジャイロモーメントとは? ~ 独楽(こま)が倒れない理由を良く見ると、コマが倒れ込む方向と直交した方向にによってコマが倒れ込む事により、コマが倒れ込む方向の逆方向のモーメントが発生する事が分かりますが、このモーメントについても、上で説明した方法で同様に計算が出来るはずです。
    また、きちんと理解したい方は、ジャイロモーメントとは? ~ 独楽(こま)が倒れない理由に出ている数式を全て理解する事をお勧めます。
    *1 F1=m(2vω+hω^2),F3=m(-2vω+hω^2)とした理由は、計算を簡素化するためにx=vt,y=hとして回転行列の回転角度を±ωtとして回転変換を行うとx'=vtcosωt+hsinωt,y'=-vtsinωt+hcosωtとなるのでd^2y'/dt^2=(±2vω-hω^2)cosωt±vtω^2sinωtとなり、t=0,x'=0ではy'方向の加速度が±2vω-hω^2となったためです。
    *2 スカイ技術研究所ブログのジャイロモーメントとは? ~ 独楽(こま)が倒れない理由のジャイロモーメントを見ると、下の説明の手前側へ倒れ込む場合のジャイロモーメントは、慣性モーメント×コマの角速度×手前側へ倒れ込む角速度とされていますが、慣性モーメント=4r^2m,コマの角速度=v/rとすると、ジャイロモーメント=4r^2m(v/r)ω=4rmvωとなりますので、私の計算結果と完全に一致します。
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    追記:(2023/12/27)
    私の考えが正しければ、コマが首振り運動を行っている場合は、遠心力が斜め上方向に働くので、コマがわずかに軽くなる事になります。
    追記2:(2023/12/28→2024/2/3訂正→2024/2/7訂正)
    円盤が倒れ込むことによって発生する力によって発生する円盤が倒れ込む方向と直交する方向に発生するモーメントがジャイロモーメントと普遍的に一致する事を説明出来るように説明図と説明内容を訂正しました。
    追記3:(2024/2/4)
    トルクという言葉をモーメントという言葉に訂正し、独楽が倒れ込む方向と逆のモーメントが働く仕組みについて追記しました。
    追記4:(2024/2/6)
    核心的な理論展開内容が激しく誤っていましたので、内容を革命的に訂正しました(笑)

    自由落下する物体の速度の計算について(2)

    本日も新潟は天気が悪いので、自由落下する物体の速度の計算についての「追記:]で「t(r)は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(4)で示した、t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))のb/aを限りなく0に近づけ、εを限りなく1に近づければ求める事が出来るはずです。」と記した事について検討してお茶を濁したいと思います。
    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(4)で求めたt=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))についてですが、y=b√(1-(x/a)^2なので、t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(b√(1-(x/a)^2)/b))=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε√(1-(x/a)^2))となり、ε=1とすると、√(a^3/GM)(arccos(x/a)-√(1-(x/a)^2)となり、a=r0/2,x=r-r0/2とすると、t=√(r0^3/8GM)(arccos((2r/r0-1)-√(1-(2r/r0-1)^2))となり、r=0とするとt=π√(r0^3/8GM)となります。
    また、t=√(r0^3/8GM)(arccos((2r/r0-1)-√(1-(2r/r0-1)^2)をrで微分すると1/√(2GM(1/r-1/r0))となるようなので、自由落下する物体の速度の計算についての「追記:]で記した事は間違いではなかったようです。
    ここで、脳内で「それがどうした」とお叱りの声が聞こえて来ましたが、私のようなお情けで高校を卒業させてもらった人間でも、ニュートン力学だけでここまで遊べるという事を証明したという事にしてやってください(笑)

    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(4)

    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)で求めた面積速度√(GMa(1-ε^2))/2を使って、楕円軌道を描いている物体の位置から時間を求める関数を求めておきたいと思います。
    楕円軌道を描いている物体の動径が描く面積Rは、下の図でいえばR+R'-R'ですから、t=(R+R'-R')/(√(GMa(1-ε^2))/2)となりますので、まずはR'を求めたいと思います。
    楕円の方程式は(x/a)^2+(y/b)^2=1ですから、y=±b√(1-(x/a)^2)ですが、y>=0の場合だけを考えると、y=b√(1-(x/a)^2)となります。
    R'はただの三角形なのでR'=(x+aε)y/2となりますが、x<-aεの場合はR'<0となります。
    そして、R+R'についてはy=b√(1-(x/a)^2)の原始関数をF(x)とすると、F(x)-F(-a)で求める事が出来ますが、F(x)はネット情報を利用して計算した結果、積分定数を無視するとF(x)=(ab/2)((x/a)√(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))となり、F(-a)=(ab/2)((-a/a)√(1-(-a/a)^2)+arcsin(-a/a))=(ab/2)(-a√(1-1)+arcsin(-1))=(ab/2)arcsin(-1)=-(ab/2)π/2=-abπ/4となります。
    また、R+R'=F(x)-F(-a)=(ab/2)((x/a)√(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))+abπ/4ですから、
    R+R'-R'=(ab/2)((x/a)√(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))+abπ/4-(x+aε)y/2となり、y=b√(1-(x/a)^2)だったので、
    R=(ab/2)((x/ab)y+arcsin(x/a))+abπ/4-(x+aε)y/2
    R=xy/2+abarcsin(x/a)/2+abπ/4-xy/2-aεy/2
    R=abarcsin(x/a)/2+abπ/4-aεy/2
    R=a(b(arcsin(x/a)/2+π/4)-εy/2)
    R=a(b(arcsin(x/a)+π/2)/2-εy/2)
    R=a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/2となるはずで、Rを面積速度で割ってtを求めると、
    t=(a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/2)/(√(GMa(1-ε^2))/2)
    t=a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/√(GMa(1-ε^2))
    t=√a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/√(GM(1-ε^2))となり、√(1-ε^2)=b/aですから、
    t=√a(b(arcsin(x/a)+π/2)-εy)/√(GM)(b/a)
    t=a^(3/2)(arcsin(x/a)+π/2-ε(y/b))/√(GM)
    t=√(a^3/GM)(arcsin(x/a)+π/2-ε(y/b))となるはずで、逆三角関数の性質により、t=√(a^3/GM)(arccos(-x/a)-ε(y/b))と出来て、左右を反転すると、t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))となります。
    したがって、上記の結果を利用してt=t(x,y)とした場合、物体の楕円軌道上の周期T=2t(a,0)=2π√(a^3/GM)となり、この結果から、離心率εが変わっても周期Tは変わらないという事が証明されたはずです。
    下の図の場合の楕円の下半分については、上記と同様な計算を行うか、上記の結果と時間反転対称性と楕円の上下の対称性を利用して簡単に計算出来る事になります。
    尚、上記の結果からx(t)やy(t)の解析解を求める方法は今のところ私には分かりませんので、もし解析解が存在すれば、どなたか解析解を教えていただけると助かります。
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    追記:
    t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))を(aε,0)を焦点にした極座標に変換するとr=a(1-ε^2)/(1+εcosφ),x=rcosφ-aε=a(1-ε^2)cosφ/(1+εcosφ)+aε,y=rsinφ=a(1-ε^2)sinφ/(1+εcosφ),b=a√(1-ε^2)なので、0≦φ≦πの場合、t=√(a^3/GM)arccos((1-ε^2)cosφ/(1+εcosφ)+ε)-ε√(1-ε^2)sinφ/(1+εcosφ))となるはずで、この解は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)のVφ(φ)=√(GM/(a(1-ε^2))^3))(1+εcosφ)^2=dφ/dtとした微分方程式の0≦φ≦πの場合の解析解に該当するはずです。
    追記2:(2023/11/27)
    この記事に対する私の脳内のゴーストの囁きがうるさくなって来たので、LibreOfficeのCalcで適当に数値積分らしき計算を行って確認して見たところ、グダグダになってしまったので、rについての数式の訂正を行って計算しなおしたところ、数値が概ね一致する事が分かりました。
    したがって、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)も含めて訂正を行わせていただきましたが、やはり持つべきものはバックアップ、やるべき事はデバッグですね(笑)
    尚、激しい誤りがあっても命までは取られませんよね?(笑)
    追記3:(2023/11/28)
    こちらの結果は、自由落下する物体にも応用できる事が分かりましたので、自由落下する物体の速度の計算についての「追記:」も見てください。

    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(3)

    本日も雨で外出できないので、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度についてで求めたv=√(GM(2/r-1/a))と楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(2)で証明したsinθ=√(rR/sS)を使って、楕円軌道の速度と面積速度と角速度を求めて見たいと思います。

    近日点距離=a(1-ε)で遠日点距離=a(1+ε)なので、rR=a^2(1-ε^2)となり、s=r,S=(2a-r)とすると、sinθ=√(a^2(1-ε^2)/r(2a-r))なので、sinθ=a√((1-ε^2)/(r(2a-r)))となります
    そして、角速度は(v/r)sinθですから、rをパラメータとした角速度関数は、
    Vφ(r)=(√(GM(2/r-1/a))/r)a√((1-ε^2)/(r(2a-r)))
    Vφ(r)=(√(GM(2a/ar-r/ar))/r)a√((1-ε^2)/√(r(2a-r)))
    Vφ(r)=(√(GM(2a-r)/ar)/r)a√((1-ε^2)/(r(2a-r)))
    Vφ(r)=(√(GM/ar)/r)a√(1-ε^2)/r)
    Vφ(r)=(√(GM/a)/(r√r))a√(1-ε^2)/r)
    Vφ(r)=√(GM/a)a√(1-ε^2)/r^2
    Vφ(r)=√(GMa(1-ε^2))/r^2となるはずです。
    尚、rをパラメータとした面積速度は、
    VS(r)=(r^2/2)(⊿φ/dt)であり⊿φ/dt=Vφ(r)ですから、
    VS(r)=(r^2/2)Vφ(r)=(r^2/2)(√((GMa)(1-ε^2))/r^2)=√(GMa(1-ε^2))/2で一定となるので、この結果はケプラーの第二法則(Wikipedia)と整合している事になります。

    そして、r=l/(1+εcosφ)であり、l=a(1-ε^2)ですから、r=a(1-ε^2)/(1+εcosφ)となり、φをパラメータとした角速度関数は、上記の結果を利用すると、
    Vφ(φ)=√(GMa(1-ε^2))/((a(1-ε^2)/(1+εcosφ))^2
    Vφ(φ)=√(GMa(1-ε^2))(1+εcosφ)^2)/(a(1-ε^2))^2
    Vφ(φ)=√(GMa)(1+εcosφ)^2/(a^2(1-ε^2)^(3/2))
    Vφ(φ)=√(GM)(a(1-ε^2))^(-3/2)(1+εcosφ)^2
    Vφ(φ)=√(GM/(a(1-ε^2))^3))(1+εcosφ)^2となるはずです。
    尚、公転周期Tはεとφが同じ場合の角速度に反比例するから、少なくともεが同じ場合にT=ka^(3/2),T^2=ka^3となるので、この結果はケプラーの第三法則(Wikipedia)と整合している事になります。

    ついでに、v=√(GM(2/r-1/a))とr=a(1-ε^2)/(1+εcosφ)を利用してφをパラメータとした速度関数も求めておくと、
    V(φ)=√(GM(2/(a(1-ε^2)/(1+εcosφ))-1/a))
    V(φ)=√(GM(2(1+εcosφ)/(a(1-ε^2))-1/a))
    V(φ)=√((GM/a)((2+2εcosφ)/(1-ε^2)-1))となるはずです。
    追記:

    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(2)

    Yahoo!知恵袋(物理)で、楕円軌道を描いている物体の運動方向に関する証明問題も提起されていたのですが、提起されていた問題は、下の図のθが、sinθ=√(rR/sS)になる事を証明するという問題です。
    この問題は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度についてで求めた、v=√(GM(2/r-1/a)とケプラーの法則を使うと証明が簡単にできる事が分かりましたので、私の方で簡単に証明したいと思います。
    下の図の二つのθは、下の図の楕円軌道の左右対称性と
    で説明されている楕円の反射定理から同一である事が証明されます。
    そして、S=2a-sなので、VsVSを計算すると、
    Vs=√(GM(2/s-1/a))=√(GM(2a/as-s/as))=√(GM(2a-s)/as)
    VS=√(GM(2/(2a-s)-1/a)=√(GM(2a/((2a-s)a)-(2a-s)/((2a-s)a))=√(GM(2a-2a+s)/((2a-s)a)=√(GM(s/(2a-s)a)
    VsVS=√(GM(s/(2a-s)a)√(GM(2a-s)/as)=√((GM)^2/a^2)=GM/aとなります。
    尚、s=rにしてもGM/aの値は変わらないので、VrVR=VsVSになる事になり、ケプラーの第二法則(Wikipedia)によれば面積速度は一定なので、Vs=(r/s)Vr/sinθ,VS=(R/S)VR/sinθ,VsVS=(rR/sS)VrVR/sin^2θとなり、VrVR=VsVSですから1=(rR/sS)/sin^2θ=√(rR/sS)/sinθとなるので、sinθ=√(rR/sS)である事が証明されます。
    ellipsea3.jpg
    追記:

    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について

    Yahoo!知恵袋(物理)を見ていて、興味深い証明問題が提起されていたので、この問題に対する回答を記しておきたいと思います。
    提起されていた問題は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度分布に関する問題で、下の図のVcとVeが同一の速度になる事を証明せよという問題です。
    答は
    http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap08.pdf
    を見れば分かるのですが、こちらの内容を理解するにはあまりにも大変であり、一部の数式が証明されていないようなので、私の方で簡単に
    下の図のVcとVeが同一の速度になる事を証明したいと思います。

    運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギー(Wikipedia)の和はE=mv^2/2-GMm/rであり、
    https://www.try-it.jp/chapters-8001/sections-8291/lessons-8296/practice-2/
    のv^2=2GMR/r(R+r)という結論を用いると、近日点の運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの和は、

    E=GmMR/(r(R+r))-GmM/r
    E=GmM(R/(R+r)-1)/r
    E=GmM(R/(R+r)-(R+r)/(R+r))/r
    E=GmM(-r/(R+r))/r
    E=-GmM/(R+r)
    となり長軸半径をaとすると、R+r=2aなのでE=-GmM/2aとなります。
    そして、エネルギー保存の法則を考慮すると、楕円軌道を描いている物体の運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの和は常にE=-GmM/2aであり、G,m,Mを固定すれば、楕円軌道上の物体のエネルギーは離心率εには依存せず、長軸半径aだけに依存するという事を意味しています。
    したがって、円軌道の半径をRとするとR=a,離心率=0ですから、円軌道もE=-GmM/2aとなり、長軸半径がaの楕円軌道も半径Rの円軌道も、重力ポテンシャルエネルギーが同じ場所では運動エネルギーも同じになるので、Vc=Veである事が証明されます。

    ここで、ついでにVcとVeの値を求めておきたいと思います。
    重力場の中で運動している物体の運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの和は、E=mv^2/2-GmM/rですが、楕円軌道を描いている場合は、E=mv^2/2-GmM/r=-GmM/2aですから、mv^2/2=GmM/r-GmM/2a,v^2=2GM/r-GM/a=GM(2/r-1/a),v=√(GM(2/r-1/a))となるので、Vc=Ve=√(GM(2/R-1/R))=√(GM/R)となる事が分かります。

    ellipsev.jpg

    追記:
    楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(2)も見てください。

    衝突と反跳について

    Yahoo!知恵袋(物理)で、重い物体と軽い物体が衝突した場合に関する質問を見かけ、私自身がどうして軽い物体のほうが重い物体よりも弾き飛ばされるのかという常識的な事を数式で説明する方法が分かっていない事に気が付いたので、この事の説明法を考えて見ました。
    運動量保存の法則により、m1v1→+m2v2→=m1v1'→+m2v2'→となる事は誰でも知っていると思いますが、この式をm1v1→-m1v1'→=m2v2'→-m2v2→,m1(v1→-v1'→)=m2(v2'→-v2→)と変形し、m1,m2の物体の速度差を|v1'→-v1→|,|v2'→-v2→|とすると、ベクトルの性質からm1|v1→-v1'→|=m2|v2'→-v2→|となり、反発係数が変わってもm1v1→+m2v2→=m1v1'→+m2v2'→は成立するので、反発係数が変わってもm1/m2=|v2'→-v2→|/|v1'→-v1→|=⊿v2/⊿v1が成立しますので、衝突後の速度差の比=1/質量比となる事が分かります。
    そして、物体の衝突前後のエネルギー差は⊿E1=m1⊿v1^2/2,⊿E2=m2⊿v2^2/2ですから、⊿E2/⊿E1=(m2⊿v2^2)/(m1⊿v1^2)=(m2/m1)(⊿V2/⊿V1)^2=(m2/m1)(m1/m2)^2=m1/m2となりますので、衝突前後のエネルギー差の比=1/質量比となる事が分かります。
    因みに、核融合反応(Wikipedia)を見ると、質量欠損によってエネルギーが発生する理由について(2)で説明したD-T反応では反応後の中性子のエネルギーはヘリウムの約4倍ですが、中性子の質量がヘリウムの1/4ですから、核融合で発生したエネルギーも上の理屈と同様の理屈でヘリウムの4倍転嫁されるという事ではないでしょうか。

    慣性力を見かけの力と呼ぶのはもう止めませんか?

    Yahoo!知恵袋(物理)で、慣性力は見かけの力ではないという説を延々と主張されている方がいて、無益な論争を終わらせるために私も本格的に参戦したのですが、慣性力は見かけの力ではないと主張されている方の言い分が理解出来たと思いますので、この事について簡単に記しておきたいと思います。
    電車の乗客が鉄球を手で押さえた場合は、モーターのエネルギーを起源としたF=maの加速力が乗客の手を媒介して鉄球に作用して鉄球も電車と一緒に加速度aで加速し、この場合、乗客の手にF=maの反作用力が加わり、この力を一般的には慣性力と呼んでいると思いますが、この直接的に測定可能な反作用力を見かけの力と呼ぶから混乱が生じているのではないでしょうか。
    それと、遠心力がF=mv^2/rになる理由についてで説明した慣性力に分類される遠心力も、回転系の物体の立場で見ると、回転円の中心方向に加速するために必要な向心力(=円の中心方向へ向かう加速力)の反作用力なのですが、この力も直接的に測定が可能なので、遠心力も見かけの力と呼ぶことによって混乱が生じるているのではないでしょうか。
    したがって、慣性力を見かけの力と呼ぶのを止めれば、混乱をなくせるのではないでしょうか。
    因みに、相対性理論における「直角レバーのパラドックス」というものがあって、このパラドックスも、作用と反作用を正しく認識出来ない事によって生じた誤解と考えれば解決すると思いますので、直角レバーのパラドックスについてを見てください。
    追記:
    Yahoo!知恵袋(物理)で惑星の公転の場合について説明している人がいたので私も考えて見たのですが、惑星の公転の場合は向心力は太陽と惑星間に作用する引力であり、引力も慣性力も物質全体に作用するから、引力と遠心力(=慣性力)が物質全体でつり合うから、太陽の引力による向心力も惑星の公転運動による遠心力も測定出来ないと思えばよいのではないでしょうか。
    追記2:(2023/10/5)
    ダランベールの原理(Wikipedia)を見て、「見かけの力」について誤った理解をしていた事が分かりましたので、内容を大幅に訂正しました。
    追記3:(2023/10/6)
    ネットでダランベールの原理について調べていたところ、宇宙に入ったカマキリさんのダランベールの原理からラグランジュ方程式の導出:解析力学とのつながりが見つかり、ダランベールの原理からラグランジュ方程式が出る事を知って超感動しました(笑)
    やはり、物理は言葉で理解しようとするとろくな事はないですよね(笑)
    尚、ネット上に慣性力は反作用力が存在していないという情報が結構あるようですが、慣性力は反作用力だから、反作用力には反作用力が存在しないという事で問題はないのではないでしょうか(笑)
    追記4:(2023/10/8)
    反作用力は測定可能ですが、測定結果は作用力と反作用力の区別は出来ない事に気が付きました。
    尚、運動学(Wikipedia)の立場からすると、反作用力を無視しないと運動方程式が作れないので、歴史的に反作用力を見かけの力と呼ぶようになったのではないでしょうか。
    因みに、ダランベールは反作用を無視しなかったから、運動学を静力学(Wikipedia)に変換する事に成功したのではないでしょうか。

    自由落下する物体の速度の計算について

    Yahoo!知恵袋(物理学)を見ていたら、物体が同じ加速度で落下して行くと光の速さに近づくのかという質問を行っている方を見かけたので、この問題をニュートン力学を使ってきちんと考えて見たいと思います。
    ニュートン力学の万有引力の法則はF=GMm/r^2ですが、mがMと比べて無視できるほど軽い場合、重力ポテンシャルは∫[r→∞](GMm/r^2)dr=-GMm/rです。
    そして、r0≧r>0,r0でv=0の場合、r0では重力ポテンシャルは-GMm/r0,rでは重力ポテンシャルは-GMm/rであり、r0とrでの重力ポテンシャルの差=rでの運動エネルギーなので、-GMm/r0-(-GMm/r)=GMm/r-GMm/r0=GMm(1/r-1/r0)=mv^2/2,v=√(2GM(1/r-1/r0))となり、vは自由落下する物体のrでの速度になります。
    したがって、ニュートン力学ではr→0の場合はv→∞ですから、事象の地平面を考えなければ、r→0の場合にv→cとなるのは明らかだと思います。
    因みに、v=√(2GM(1/r-1/r0))からv(t)を求めようとすれば、v=dr/dt=√(2GM(1/r-1/r0)と置いて
    dt/dr=1/√(2GM(1/r-1/r0)
    dt=(1/√(2GM(1/r-1/r0))dr
    ∫dt=∫(1/√(2GM(1/r-1/r0))dr
    t+C=∫(1/√(2GM(1/r-1/r0))drとなり、t=t(r)を求めてt(r)の逆関数r=r(t)を求め、v(t)=√(2GM(1/r(t)-1/r0))とすれば求められるのではないでしょうか。
    この問題を一般相対性理論で考えたい人は、ブラックホールに軟着陸するとどうなるのかで紹介した物理のぺーじ♥シュバルツシルト解~クルスカル座標~のP1~3を見れば可能だと思いますが、ブラックホールに自由落下する物体の運動について私のように真面目に考えると、私のブラックホールカテゴリーの中の私の独自理論をすっきりと理解出来るようになれるのではないでしょうか(笑)
    追記:(2023/11/28)
    t(r)は、楕円軌道を描いている物体の軌道上の速度について(4)で示した、t=√(a^3/GM)(arccos(x/a)-ε(y/b))のb/aを限りなく0に近づけ、εを限りなく1に近づければ求める事が出来るはずです。
    また、楕円軌道の周期については離心率にかかわらず2π√(a^3/GM)なので、重心からrだけ離れた場所で静止した物体を開放した場合、a=r/2と考えれば、t=π√(r^3/8GM)で重心に到達するはずです。
    追記2:(2023/11/29)

    遠心力がF=mv^2/rになる理由について

    平坦な時空の回転系の計量について平坦な時空の回転系の計量について(2)を記して自分に酔っていい気分になっていたのですが、遠心力がF=mv^2/rとなる理由が分かっていない事に気が付いて、慌ててネットを調べてもすっきり理解出来る説明が見当たらなかったため、いつもの様に自力で説明を考えて見ました。
    まず、二次元の円の方程式はx^2+y^2=r^2なので、y=±√(r^2-x^2)ですが、y=√(r^2-x^2)について、(x,y)=(0,r)の座標でのy座標方向へ働く遠心力を計算してみたいと思います。
    (x,y)=(0,r)で働く遠心力を計算するために、(x,y)=(⊿x,r)を考えると、⊿x=v⊿tとみなす事が出来ますが、微分を行うために便宜的に⊿tをtと置いて、y=√(r^2-(vt)^2)と置きます。
    すると、dy/dt=-v^2t/√(r^2-(vt)^2),d^2y/dt^2=-v^2/√(r^2-(vt)^2)-v^4t^2(r^2-(vt)^2)^-3/2となり、f(t)=√(r^2-(vt)^2)と置くとf'(0)=0ですがf"(0)=-v^2/rとなるので、(x,y)=(0,r)では回転運動を行っている物体はy軸の方向に-v^2/rの加速を行う事になり、F=-maなのでy軸方向にmv^2/rの大きさの遠心力が発生する事になります。
    これで、遠心力がF=mv^2/rになる理由をすっきりと理解していただけたでしょうか(笑)
    因みに、きちんと計算していないので正しいという保証がありませんが、平坦な時空の回転系の計量についてやChem-Stationの【金はなぜ金色なの?】 相対論効果 Relativistic Effectsが正しければ、特殊相対性理論ではm'=γmとなって遠心力もF=γmv^2/rとなるのではないでしょうか。
    追記:
    今頃になって、具体例で学ぶ数学の遠心力の意味と計算する3つの公式【証明つき】を見つけ、こちらの方が全然エレガントでしたが、私が示した内容の方が素朴で分かりやすいという事にしてもらえないですか(笑)

    「ド・ドドンパ」の加速度は何Gになるのか?

    「ド・ドドンパ」は世界一の加速力だそうですが、「1.56秒で時速180キロに到達する」という事だそうなので、加速度が何Gになるのか計算して見たいと思います。
    「ド・ドドンパ」が1.56秒で到達するとされる180km/hを秒速に直すと、180000m/3600s=50m/sになります。
    この場合、加速度は(50m/s)/1.56s=約32.1m/s^2となり、1Gは約9.8m/s^2なので、(約32.1m/s^2)/(約9.8m/s^2)=約3.3となります。
    したがって、0→180km/hを同じ加速度で加速した場合は、約3.3Gになるのではないでしょうか。
    ただし、普通は低速の方が加速度は高いので、瞬間的にはこれ以上のGが体にかかるのではないでしょうか。
    因みに、「加速力世界一」1・69秒で時速96キロのEV 価格は約3億5千万(産経新聞 2020/12/23)という電気自動車があり、「ド・ドドンパ」の加速力はこの車の約2倍もある事になりますが、「ド・ドドンパ」の加速力はすさまじいですね。

    オイラー=ラグランジュ方程式について

    オイラー=ラグランジュ方程式の導出法を知りたくなって、オイラー=ラグランジュ方程式(Wikipedia)を読み込んで見たのですが、さっぱり理解出来なくて、他を探してみたところ、宇宙に入ったカマキリさんの【ラグランジュ方程式の導出】最小作用の原理からわかりやすく解説が見つかったので、読み込んで見たら、何となく理解が出来た気がしました。
    追記:
    オイラー=ラグランジュ方程式は、ダランベールの原理(Wikipedia)からも導出される事が分かりましたので、慣性力を見かけの力と呼ぶのはもう止めませんか?の「追記3:」も見てください。

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